Triangle de Pascal généralisé dans le langage associé au carré du nombre d’Or

En mathématiques, le coefficient binomial est un concept important de la combinatoire (l’art de compter). Il est enseigné en secondaire notamment pour son utilité en probabilité. Le triangle de Pascal est un tableau contenant l’ensemble de ces coefficients. Chaque case du tableau peut être coloriée en noir ou en blanc si le coefficient correspondant est pair ou impair. En considérant de plus en plus de carrés, on crée un objet limite : le triangle de Sierpiński. Ce dernier appartient à la famille des fractales (objet dont la structure est la même à toutes les échelles). Par exemple, le flocon de neige, la fougère et le chou Romanesco ont tous une structure fractale. L’auteur de l’image étudie des généralisations appelées « coefficients binomiaux de mots ». Ici, un mot est simplement une suite finie de symboles, comme dans la vie de tous les jours. L’image présentée est l’analogue, en combinatoire des mots, du triangle de Sierpiński pour les mots composés de lettres 0, 1 et 2 et évitant un certain motif obtenu grâce à une petite machine (automate).

Manon Stipulanti est docteur en Sciences Mathématiques, spécialiste des Mathématiques Discrètes. Ses recherches actuelles se concentrent sur la Combinatoire des Mots, une branche assez neuve des Mathématiques Discrètes. Elle étudie les propriétés des suites de symboles, qu’elles soient finies ou infinies. Ces objets sont alors appelés « mots finis » ou « mots infinis » et les symboles les constituant sont des « lettres » appartenant à un « alphabet ». La Combinatoire des Mots a des applications en Informatique Théorique et en Linguistique.

Domaine : mathématiques